Toutes nos amours, toutes nos pensées, toutes nos engueulades, toutes nos relations ne sont que des collisions. Des collisions de vies, de pensées, d'émotions positives ou négatives, qui sont les briques élémentaires de nos sensibilités. Le paradoxe est que nous passons notre existence à les éviter, à amortir les chocs, alors même que tout ce qui nous constitue naît précisément de ces impacts.
À l'échelle subatomique, rien n'existe sans interaction. Une particule isolée n'est qu'une abstraction mathématique. Elle ne devient observable, mesurable, réelle, qu'au moment où elle entre en collision.
Nous ne sommes pas différents.
Une vie sans heurt, n'est que théorique.
La physique des collisions de particules
Pour décrire quantitativement ce qui se passe lors d'une collision, les physiciens ont développé un cadre mathématique précis, fondé sur la relativité restreinte. La règle de base est simple : toute particule de masse m, d'énergie E et d'impulsion p obéit à la relation :
\( \color{#FCFA0A} E^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2 \)
(en unités naturelles où c = 1).
Cette relation, valable dans tout référentiel, est le point de départ de toute la cinématique relativiste. On peut la réécrire en introduisant le quadrivecteur énergie-impulsion p = (E, p), dont le carré est invariant de Lorentz :
\( \color{#FCFA0A} p^2 = E^2 - |\mathbf{p}|^2 = m^2 \)
Cela signifie que si E et p changent selon le référentiel, la combinaison : \( \color{#FCFA0A} E^2 - |\mathbf{p}|^2 \) reste toujours égale à m2
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Lors d'une collision entre deux particules, la quantité physiquement pertinente n'est pas simplement la somme des énergies, mais l'énergie disponible pour créer de nouvelles particules, c'est-à-dire l'énergie dans le référentiel du centre de masse (c.m.), noté \( \sqrt{s} \).
Cet invariant de Lorentz se calcule à partir des quadrivecteurs des deux particules :
\( \color{#FCFA0A} s = (p_1 + p_2)^2 = (E_1 + E_2)^2 - (\mathbf{p}_1 + \mathbf{p}_2)^2 \)
En développant cette expression et en utilisant \( \color{#FCFA0A} p_i^2 = m_i^2 \):
\[ \color{#FCFA0A} s = m_1^2 + m_2^2 + 2E_1 E_2 (1 - \beta_1 \beta_2 \cos\theta) \]
où \( \theta \) est l'angle entre les deux faisceaux et \( \color{#FCFA0A} \beta_i = |\mathbf{p}_i| / E_i \) est la vitesse de chaque particule.
Cette formule révèle une différence fondamentale entre deux types d'expériences. Dans un expérience sur cible fixe, la particule 2 est au repos \( \color{#FCFA0A} (p_2 = 0) \) donc \( \color{#FCFA0A} E_2 = m_2 \), et l'expression se simplifie en :
\( \color{#FCFA0A} \sqrt{s} \approx \sqrt{2E_1 m_2} \)
pour des particules ultra-relativistes \( \color{#FCFA0A} (E_1 \gt\gt m_1,m_2) \). L'énergie disponible ne croît donc que comme la racine carrée de l'énergie du faisceau : pour obtenir \( \color{#FCFA0A} \sqrt{s} = 87 \) GeV, l'expérience NA48 au CERN nécessitait un faisceau de protons de 450 GeV frappant une cibel de béryllium.
Dans un collisionneur, les deux faisceaux d'énergie égale E se percutent de front \( \color{#FCFA0A} \theta = \pi \), ce qui donne \( \color{#FCFA0A} \sqrt{s} = 2E \) : toute l'énergie est directement disponible. Le LHC, avec ses faisceaux de 6,5 TeV chacun, atteint \( \color{#FCFA0A} \sqrt{s} = 13 \) TeV, soit 150 fois plus que ne pourrait l'obtenir un faisceau de même énergie sur cible fixe. C'est pourquoi la gémoétrie de collisions frontales est incontournable pour explorer la physique à très haute énergie.
Les variables de Mandelstam
Pour une réaction à deux corps \( 1 + 2 \to 3 + 4 \), la cinématique est entièrement décrite par deux degrés de liberté (une fois l'énergie totale fixée). Il est commode de les paramétrer par les varbiables de Mandelstam, qui sont des invariants de Lorentz :
\( \color{#FCFA0A} s = (p_1 + p_2)^2 \)
\( \color{#FCFA0A} t = (p_1 - p_3)^2 \)
\( \color{#FCFA0A} u = (p_1 - p_4)^2 \)
Ces trois variables ne sont pas indépendantes :
\( \color{#FCFA0A} s + t + u = m_1^2 + m_2^2 + m_3^2 + m_4^2 \)
Chacune a une interprétation physique claire. La variable s est le carré de l'énergie dans le centre de masse. La variable t mesure le carré du transfert d'impulsion entre la particule 1 et la particule 3 : c'est la grandeur pertinente pour les processus de diffusion, où une particule échange un médiateur (photon, gluon, boson W ou Z) avec l'autre. Ces trois cas correspondent aux trois topologies possibles d'un diagramme de Feynman à deux corps : la voie s (annihilation puis recréation), la voie t (échange d'un médiateur), et la voie u (échange croisé). La section efficace différentielle d'une réaction à deux corps s'exprime simplement en fonction de t :
\[ \color{#FCFA0A} \frac{d\sigma}{dt} = \frac{1}{64\pi s} \frac{|\mathcal{M}|^2}{|\mathbf{p}_{1,\mathrm{cm}}|^2} \]
où \( \mathcal{M} \) est l'amplitude de transition calculée à partir des règles de Feynman.
Amplitudes de diffusion et diagrammes de Feynman
L'amplitude de transition \( \mathcal{m} \) est l'objet central de la théorie quantique des champs. Pour chaque processus physique, on trace tous les diagrammes de Feynman possibles et on applique des règles de correspondance entre les élements graphiques et des expressions mathématiques : chaque ligne interne (propagateur) donne un facteur \( \frac{-i g^{\mu\nu}}{q^2} \) pour un photon virtuel de quadrimoment q, et chaque vertex électromagnétique contribue \( -iQe\gamma^{\mu} \). La section efficace différentielle d'un processus \( 2 \to 2 \) s'écrit alors :
\( \color{#FCFA0A} d\sigma = \frac{1}{4\sqrt{(p_1 \cdot p_2)^2 - m_1^2 m_2^2}} \cdot (2\pi)^4 |\mathcal{M}|^2 \cdot \delta^{(4)}\left(\sum p_i\right) \cdot \prod_f \frac{d^3 p_f}{(2\pi)^3 2E_f} \)
Le premier facteur est le flux cinématique, indépedant du processus. La fonction delta de Dirac à quatre dimensions assure la conservation de l'énergie et de l'impulsion. Le produit final est l'espace de phase Lorentz-invariant, qui traduit le nombre d'états accessibles pour les particules finales. Lorsque plusieurs diagrammes contribuent au même état final, comme la diffusion électron-électron, qui reçoit une contribution des voies t et u simultanément, leurs amplitudes s'additionnent avant de prendre le module carré : les termes d'interférences qui apparaissent produisent des effets physiques mesurables.
Désintégration de particules
Une particule instable de masse M se désintègre en n particules filles avec un taux partiel :
\( \color{#FCFA0A} d\Gamma = \frac{(2\pi)^4}{2M} |\mathcal{M}|^2 d\Phi_n \)
où \( d\Phi_n \) est l'élément d'espace de phase à n corps. Pour une désintégration à deux corps dans le référentiel du repos de la particule mère, la conservation de l'énergie-impulsion fixe entièrement le module des impulsions des produits. On obtient :
\( \color{#FCFA0A} |\mathbf{p}_1| = |\mathbf{p}_2| = \frac{\left[(M^2 - (m_1 + m_2)^2)(M^2 - (m_1 - m_2)^2)\right]^{1/2}}{2M} \)
il ne reste qu'un seul degré de liberté : la direction d'émission. Si l'amplitude \( \mathcal{M} \) ne dépend pas de l'angle (ce qui est le cas lorsque la particule mère est un scalaire ou que l'on moyenne sur ses états de spin), le taux de désintégration est uniforme en angle solide, et l'on obtient simplement \( \Gamma \propto |\mathbf{p}_1|/M^2. \).
La durée de vie d'une particule instable est directement liée à sa largeur par \( \gamma = \frac{1}{\Gamma_{tot}} \). Une particule de grande impulsion \( |\mathbf{p} \) et de masse M a une durée de vie apparente dilatée par le facteur de Lorentz \( \gamma = E/M \), si bien que la probabilité de survivre jusqu'au temps propre \( t_O \) est :
\( \color{#FCFA0A} P(t_0) = e^{-t_0\Gamma/\gamma} = e^{-Mt_0\Gamma/E} \)
Concrètement, un muon produit dans les rayons cosmiques à 10 km d'altitude, avec \( \gamma \approx 30 \), voit sa durée de vie propre \( (\tau_\mu \approx 2,2 \mu\text{s}) \) multipliée par 30 : il atteint le sol alors qu'il se serait désintégré depuis longtemps en son absence.
Collisions hadron-hadron et le théorème de factorisation
Au LHC, ce ne sont pas des protons entiers qui intéragissent, mais leurs constituants (quarks et gluons), qui se percutent de manière ponctuelle. Le théorème de factorisation de QCD permet de séparer proprement la physique de longue distance de la physique à courte distance (la réaction dure entre partons, calculable en théorie des perturbations). La section efficace hadronique totale s'écrit comme une somme sur toutes les paires de partons possibles :
\[ \color{#FCFA0A} \sigma(pp \rightarrow X) = \sum_{a,b} \int_0^1 dx_1 \int_0^1 dx_2 \, f_{a/p}(x_1, \mu_F) \, f_{b/p}(x_2, \mu_F) \, \hat{\sigma}^{ab}(\hat{s} = x_1 x_2 s, \mu_F) \]
Ici, \( f_{a/p}(x, \mu_F) \) est la PDF du parton \( \alpha \) dans le proton, évaluée à l'échelle de factorisation \( \mu_F \) qui sépare les deux régimes, et \( \hat{\sigma}^{ab} \) est la section efficace de la réaction partonique dure, calculable ordre par ordre en CQD perturbative. L'énergie disponible dans la réaction partonique est \( \hat{s} = x_1x_2s \) ; une fraction de l'énergie totale du collisionneur, tirée aléatoirement selon les PDFs. C'est cette structure probabiliste qui rend les prédictions pour les collisionneurs hadroniques nettement plus complexes que pour les collisionneurs \( e^+e^- \), et qui nécessite des outils numériques sophistiqués ainsi qu'une connaissance précise des PDFs, elles-mêmes déterminées par ajustement global sur des milliers de points de données issus de la diffusion profondément inélastique, des collisions hadroniques, et de la production de bosons W et Z.